Statistische Mechanik

Dieser Text beschreibt Statistische Mechanik.

Die Statistische Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik. Sie betrachtet Systeme vieler Teilchen (i.A. Atome, Moleküle, Elementarteilchen), und gewinnt aus den mikroskopischen Merkmalen und Wechselwirkungen dieser Teilchen Aussagen über das makroskopische Verhalten des Systems unter Benutzung statistischer Methoden. Insbesondere werden Zustandsgleichungen der Thermodynamik aus mikroskopisch-statistischen Modellen abgeleitet.

In der statistischen Mechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems nicht mehr durch mechanische Bahnen der einzelnen Teilchen, bzw. ihren reinen quantenmechanischen Zustand charakterisiert, sondern nur durch eine Wahrscheinlichkeit derartige mikroskopische Zustände vorzufinden.

Die statistische Mechanik ist vor allem durch Arbeiten von Ludwig Boltzmann, Josiah Willard Gibbs und James Clerk Maxwell entstanden.

Von zentraler Bedeutung für die statistische Mechanik ist die boltzmannsche Formel

Hier genannt S die (statistische) Entropie eines abgeschlossenen Systems, d.h. eines mikrokanonischen Ensembles. Die Größe Ω gibt die Zahl der Mikrozustände an (z.B. Orte und Impulse aller Teilchen in einem Gas), die mit den thermodynamischen Zustandsgrößen Energie, Volumen und Teilchenzahl verträglich sind (Boltzmann genannte diese Größe als "Komplexion" des markoskopischen Zustands). Die Konstante k_B wird als Boltzmannkonstante genannt und hat die Einheit der Entropie [ Joule/Kelvin ].

Es wird also angenommen, dass nicht ein einziger mikroskopischer Zustand, sondern vielmehr alle möglichen Zustände, das makroskopische Verhalten eines physikalischen Systems bestimmen. Diese Annahme ist komplementär zur mechanischen bzw. quantenmechanischen Beschreibung eines Systems und kommt besonders im Konzept des statistischen Ensembles zu dem Ausdruck.

Ein klassisches Beispiel für die Anwendung der boltzmannschen Formel ist die Ableitung der Zustandsgleichung des idealen Gases.

Für andere Ensemble müssen andere Größen berechnet werden, wie zu dem Beispiel die Zustandssumme für kanonische Ensemble.

Spielen quantenmechanische Effekte (Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen, Spin) eine Rolle, was i.A. ca. bei tiefen Temperaturen der Fall ist, können besondere Phänomene vorhergesagt werden. Für Systeme mit ganzzahligem Spin (Bosonen) folgt die Bose-Einstein-Statistik, welche unterhalb einer kritischen Temperatur einen makroskopischen Quantenzustand vorhersagt - die Bosekondensation.

Systeme mit halbzahligem Spin (Fermionen) gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik. Hierbei blockieren die Teilchen die quantenmechanischen Zustände mit der kleinsten Energie, sodass eine charakteristische obere "Energiekante" entsteht, die Fermieenergie . Dieser Effekt ist verantwortlich für die Stabilität der Atomhülle (hier auch unter dem Namen Pauliprinzip bekannt) und auch für die besonderen Merkmalen der Halbleiter.

Siehe auch: Kinetische Gastheorie